Fibonacci und die Sonnenblume

Zum Namen der Sunflower Foundation

Der Name der Sunflower Foundation ist nicht zufällig zustande gekommen. Er drückt die Philosophie aus, auf der das MoneyMuseum beruht. Die Sunflower, die Sonnenblume, steht für Grosszügigkeit, Balance, Harmonie und Überfluss im positiven Sinn, aber auch für Zufall und Individualität.

Die Sonnenblume baut auf einem mathematischen Algorithmus auf: Der Blütenkopf der Sonnenblume besteht aus zahlreichen Samen, die in mehreren rechts- und linksdrehenden Spiralen angeordnet sind. Die Anzahl der Spiralen entspricht immer Gliedern der Fibonacci-Reihe.

Fibonacci, seine Zahlen, seine Geometrie

Wer war Leonardo von Pisa und wann kam sein Buch raus? Und was hat er mit Fibonacci zu tun?

Leonardo von Pisa, besser bekannt unter dem Namen Leonardo Fibonacci, lebte etwa von 1170 bis nach 1240 und gilt als der erste bedeutende Mathematiker Europas. Auf Reisen nach Afrika, Byzanz und Syrien lernte er die arabische Mathematik kennen, die im christlichen Abendland weitgehend unbekannt war. Dieses Wissen verband er in seinem Werk «Liber abaci», das im Jahr 1202 erschien, mit eigenen Überlegungen. Das Buch blieb in der Geschichte der abendländischen Mathematik für lange Zeit unübertroffen und trug unter anderem dazu bei, dass Europa das arabische Zahlensystem übernahm.

Im «Liber abaci» findet sich ein Gedankenexperiment, das Fibonacci selbst vermutlich als reine Kuriosität betrachtete und nicht weiterverfolgte, das aber später als «Fibonacci-Folge» Berühmtheit erlangen sollte.

Fibonacci stellte sich die Frage, wie viele Kaninchenpaare in einem Jahr von einem einzigen Paar abstammten. Er setzte dazu voraus, dass keine Kaninchen innerhalb dieses Jahres sterben, und dass jedes Kaninchenpaar pro Monat genau ein weiteres Paar beiderlei Geschlechts erzeuge, das wiederum ab dem zweiten Monat nach der Geburt fruchtbar sei.

Woher stammt die Fibonacci-Zahlenreihe?

In seinem Buch «Liber abaci» schreibt er: «Weil das oben genannte Paar schon im ersten Monat gebiert, kannst du es verdoppeln, so dass nach einem Monat zwei Paare da sind.»

Am Ende des ersten Monats, und hier beginnt Fibonacci seine Zählung, existieren also zwei Kaninchenpaare.
Am Ende des zweiten Monats, hat das ursprüngliche Paar ein weiteres Paar geboren, das andere Paar wurde zeugungsfähig. Es sind also nun 3 Paare.
Von diesen 3 Paaren sind im dritten Monat nun zwei zeugungsfähig und eines nicht zeugungsfähig, demnach kommen am Ende des nächsten Monats zwei weitere Kaninchenpaare hinzu, es existieren jetzt also insgesamt 5 Paare.
Von diesen 5 Paaren werden wiederum 3 trächtig, so dass es im vierten Monat 8 Paare sind.

Um die Zahl der Kaninchenpaare zu ermitteln, beobachtete Fibonacci, muss man also nichts anderes tun, als jeweils die Summe der Kaninchenpaare der beiden vorangegangenen Monate zusammenzuzählen.

Zu Beginn gibt es ein Kaninchenpaar. Nach einem Monat gibt es 2 Kaninchenpaare, nach zwei Monaten sind es 1 plus 2, also 3, nach drei Monaten 2 plus 3, also 5, nach vier Monaten 3 plus 5, also 8 usw. − bis nach elf Monaten aus dem ersten Paar 233 Kaninchenpaare hervorgegangen sind.
Und Fibonacci schreibt: «Wenn man schliesslich zu diesen die 144 Paare addiert, die im letzten Monat geboren werden, sind es am Schluss 377 Paare. Und soviele Paare wird das obengenannte Paar am Ende eines Jahres auf die Welt gebracht haben.»

Obschon Fibonaccis Gedankenexperiment natürlich von unrealistischen Annahmen ausgeht, beschreibt es wesentliche Merkmale von Wachstumsprozessen. Während für Fibonacci seine Aufgabe damit gelöst war, entdeckte man später, dass sich die Fibonacci-Folge in der Natur und der Kunst wiederfindet – sei es in der Blattstellung von Pflanzen, in der Spiralform von Muscheln, in der Wolkenstruktur eines Tiefdruckgebiets oder in Gemälden, architektonischen Bauten oder der Musik.

Man kann sich den Fibonacci-Zahlen auch geometrisch nähern. Gehen wir von einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 aus. Daneben konstruieren wir ein zweites, gleich grosses Quadrat. Daran schliessen wir ein weiteres Quadrat an, das die Seitenlänge 2 besitzt. Es folgt ein Quadrat mit der Seitenlänge 3, eines mit der Seitenlänge 5, eines mit der Seitenlänge 8.

Man erkennt unschwer die Zahlen der Fibonacci-Folge.

Nun ziehen wir in jedem Quadrat einen Viertelkreis. Die Spirale, die sich so ergibt, wird Fibonacci-Spirale genannt. Sie findet sich sehr anschaulich bei der Nautilus-Muschel.

Der Goldene Schnitt und seine Verwandten

Die erste genaue Beschreibung des Goldenen Schnitts – er nannte es «Teilung nach dem äußeren und mittleren Verhältnis» – lieferte bereits um 300 vor Christus der griechische Mathematiker Euklid: Man teilt eine Strecke so in zwei Teile, dass der kleinere Teil sich zum größeren Teil genau so verhält wie der größere Teil wiederum zum Ganzen. Später, im 15. Jahrhundert, beschäftigte sich der italienische Mathematiker und Franziskanermönch Luca Pacioli mit Euklids Arbeiten und widmete dieser Streckenteilung, die er «proportio divina», also «göttliche Teilung», nannte, einen ganzen Band.

Um 1600 herum entdeckte Johannes Kepler – bekannt durch die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung – die Verwandtschaft zwischen den Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt. Er stellte fest, dass das Verhältnis zwischen einer Zahl der Fibonacci-Folge und der vorhergehenden sich immer mehr der irrationalen Zahl Φ ((Phi)), nähert, je länger man die Folge fortsetzt. Und Φ bezeichnet nichts anderes als den Goldenen Schnitt.

Der Goldene Schnitt definiert eine Proportion, die vom menschlichen Wahrnehmungssystem schon immer als besonders schön und harmonisch empfunden wurde. Seine Anwendung finden wir seit vielen Epochen in fast allen Kulturen auf der ganzen Welt, vor allem in der Architektur und der Kunst.

Ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht, bezeichnet man als Goldenes Rechteck. Ebenso nennt man gleichschenklige Dreiecke, bei denen zwei Seiten in diesem Verhältnis stehen, Goldene Dreiecke.

Eine wichtige Rolle spielt auch der sogenannte Goldene Winkel Ψ ((Psi)), der den Winkel von 360 Grad im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt. Da sich Winkel kleiner als 180 Grad für die Praxis als handlicher erweisen, wird gewöhnlich der kleinere der sich ergebenden Winkel als Goldener Winkel Ψ bezeichnet. Er beträgt – angenähert – 137,5 Grad.

Das Pentagramm

Das Pentagramm ist ein regelmässiger, fünfzackiger Stern, der aus den Diagonalen eines regelmässigen Fünfecks entsteht und schon in der Antike als magisches Zeichen galt. Der Goldene Schnitt tritt hier besonders eindrucksvoll in Erscheinung, da er sich geometrisch im Fünfstern gleich mehrfach wiederfindet. Zu jeder Strecke und Teilstrecke gibt es einen Partner, der mit ihr im Verhältnis des Goldenen Schnitts steht.

Das Pentagramm lässt sich auch als Zusammensetzung aus fünf Goldenen Dreiecken denken. Verbindet man die fünf Schnittpunkte im Inneren, so entsteht dort ein weiteres Pentagramm. Selbst wenn man in dessen innerem Fünfeck wieder ein Pentagramm einzeichnet und so fort, sind sämtliche Dreiecke, die in dieser Zeichnung enthalten sind, Goldene Dreiecke.

Schneidet man einen Apfel quer durch, so findet man im Kerngehäuse ein natürliches Abbild des Pentagramms. Wie alle Rosengewächse ist der Apfel dem weiblichen, dem lebensspendenden Prinzip zugeordnet. So verwundert es nicht, dass das Pentagramm das Symbol der Venus ist, sowohl des Planeten als auch der Göttin. Da man das Symbol in einem Zug zeichnen kann und am Schluss wieder zum Anfang gelangt, galt es auch als Zeichen für den Kreislauf des Lebens. Im Mittelalter wurde das Pentagramm, der «Drudenfuss», als Zeichen zur Abwehr von Dämonen benutzt.

Und auch heute ist es noch allgegenwärtig: Bei den Sternen zahlreicher Flaggen, zum Beispiel derjenigen der USA oder der EU, handelt es sich um Pentagramme. Auch das Symbol des Islam oder der Sowjetstern sind Pentagramme.

Die Fibonacci-Zahlen in der Natur

Überraschend ist das häufige Auftreten des Goldenen Schnitts und der Fibonacci-Zahlen in der Natur. Am auffälligsten finden sich diese Strukturprinzipien in der Phyllotaxis von Pflanzen, also der Anordnung von Blättern und Samenkapseln, wieder. Bei vielen höher entwickelten Pflanzenarten beträgt der Winkel zwischen spiralförmig aufeinanderfolgenden Blättern durchschnittlich rund 137,5 Grad – der Goldene Winkel. Diese Blattanordung wird auch als Fibonacci-Phyllotaxis bezeichnet.

Da der Goldene Winkel auf einer irrationalen Zahl beruht, wird nie ein Blatt genau über dem andern zu liegen kommen. Das von oben einfallende Sonnenlicht kann daher optimal genutzt werden und einfallender Regen wird von den Blättern in maximaler Menge zu den Wurzeln weitergeleitet.

Bei der Sonnenblume tritt die Phyllotaxis in den sogenannten Parastichen, den spiralförmig angeordneten Samenkapseln auf dem Blütenboden, in besonders ästhetischer Form in Erscheinung.

Die deutlich erkennbaren Fibonacci-Spiralen werden dabei nicht aus wachstumstechnisch aufeinanderfolgenden Samen gebildet, vielmehr ergeben sie sich als Konsequenz daraus, dass aufeinanderfolgende Samen um den Goldenen Winkel versetzt angeordnet sind; wobei die Abweichung vom mathematischen Goldenen Winkel dabei weniger als 0,01 Prozent beträgt.

Betrachtet man die Anzahl der Bögen, die sich links herum drehen, und die Anzahl der Bögen, die sich rechts herum drehen, wird man sich kaum noch wundern: Auch hierbei handelt es sich um aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen. Im äusseren Bereich von Sonnenblumen zählt man in der Regel 34 und 55 Spiralen, bei grösseren Exemplaren 55 und 89 oder sogar 89 und 144. Ob die grössere Anzahl rechts- oder linksdrehende Bögen sind, ist allerdings dem Zufall überlassen.

Diese Animation zeigt einen konstruierten Blütenstand mit 200 Samen. Ausgehend vom Keimzentrum, wandern die Samen im Verlauf des Wachstums nach aussen, bis der ganze Blütenboden gefüllt ist.

Aufeinanderfolgende Samen entstehen dabei genau um den Goldenen Winkel versetzt zueinander, da die Samen auf diese Weise am dichtesten gepackt sind. Dies lässt sich verdeutlichen, wenn man den Winkel zwischen zwei wachstumstechnisch aufeinanderfolgenden Samen verändert.

Wie wir sehen, stellen sich hier 13 und 21 Fibonacci-Spiralen ein.

Der Goldene Schnitt in Architektur und Kunst

Seit Menschengedenken finden wir die goldene Proportion überall dort, wo Menschen Schönheit zum Ausdruck bringen wollten und wo sie sich dem göttlichen Ideal anzunähern versuchten. Dies sind im Allgemeinen die Kunst, und in der Architektur im Besonderen die heiligen Stätten.

Schon in den Pyramiden von Gizeh zeigen sich die Proportionen der Zahl Phi in erstaunlicher Genauigkeit. So ist beispielsweise bei der Cheops-Pyramide das Verhältnis der Länge der Pyramidenseite zur Hälfte der Pyramidenbasis 356 : 220 Ellen, das entspricht 1,618, der Zahl Phi.
Auch im berühmtesten der großen Steinmonumente, Stonehenge, das vor ca. 3500 Jahren bei Salisbury in England erbaut wurde, finden sich die goldenen Maße wieder.
Der ca. 450 v. Chr. unter Perikles errichtete Parthenon zu Athen zählt zu den bekanntesten klassischen Bauten. Er gilt gleichzeitig als das schönste und vollendetste Werk der antiken griechischen Architektur.
In ihm finden sich die Proportionen des goldenen Schnittes in vielfacher Art und Weise und erstaunlicher Genauigkeit verbaut.

Ab 1940 entwickelte der Architekt und Maler Le Corbusier ein einheitliches Maßwerkzeug, bei dem die Metrik durch eine Skala harmonischer Dimensionen ersetzt wird, die von den Proportionen des Menschen und dem Goldenen Schnitt abgeleitet sind. In seinem Buch «Der Modulor“» in dem er diese Ideen veröffentlichte, und das heute zu den bedeutendsten Werken der Architekturtheorie gehört, schreibt er:

«Ein Mensch mit erhobenem Arm liefert in den Hauptpunkten der Raumverdrängung – Fuß, Solarplexus, Kopf, Fingerspitze des erhobenen Arms – drei Intervalle, die eine Reihe von goldenen Schnitten ergeben, die man nach Fibonacci benennt.»

In der Kunst zeigen sich die Proportionen des goldenen Schnittes im Grundaufbau zahlreicher bekannter Gemälde wie »Das Abendmahl« von Leonardo da Vinci oder Albrecht Dürers »Selbstbildnis«. Ein Künstler der Neuzeit, der den Goldenen Schnitt bewusst einsetzt, ist zum Beispiel der niederländische Maler Piet Mondrian.

In der grossen Halle des Hauptbahnhofs Zürich findet man auch ein Beispiel einer zeitgenössischen Anwendung der Fibonacci-Zahlen in der bildenden Kunst. Die Installation «Ovus philosophicus» des italienischen Künstlers Mario Merz.

Innerhalb der Musik tritt der Goldene Schnitt in mehreren Formen auf.

Interessant ist schon allein die Beobachtung einer Klaviertastatur. Das Intervall einer Oktave vom kleinen C zu C1 umfasst 8 weisse und 5 schwarze Tasten, zusammen also 13 Tasten. Die schwarzen Tasten sind in Gruppen von 2 und 3 aufgeteilt. Alles Zahlen und Verhältnisse aus der Fibonacci-Reihe.
Bei dem Musikwissenschaftler Ernö Lendvai lesen wir, dass sich der Goldene Schnitt und die Fibonacci-Zahlen als beherrschendes Gestaltungsprinzip in den Werken des Komponisten Béla Bartok wiederfinden.
Besonders deutlich wird dies in der Sonate für zwei Klaviere und Schlagzeug, wo nicht nur die Formteile den Proportionen des Goldenen Schnitts folgen. Bartok selbst, dessen Lieblingsblume übrigens die Sonnenblume gewesen sein soll, hat sich dazu allerdings nie geäussert.
Ähnliche Untersuchungen gibt es auch zu Werken von Bach, Mozart, Schubert, Debussy oder Satie.
Nicht zuletzt findet sich der Goldene Schnitt auch in der Konstruktion von Musikinstrumenten wieder.
In «The New Oxford Companion to Music, Volume 2» kann man lesen, dass Stradivari und Guaneri den Goldenen Schnitt benutzten, um z. B. die F-Löcher bei ihren weltberühmten Instrumenten genau an die gewünschte Stelle zu platzieren.

Die Fibonacci-Zahlen und Mandelbrots Fraktale

Der amerikanisch-französische Mathematiker Benoît Mandelbrot ist zu einem grossen Teil verantwortlich dafür, dass in den 1980er Jahren das Interesse an fraktaler Geometrie und Chaostheorie aufkam.

Fraktale sind zunächst nur mathematisch definierte Objekte, die nicht ein-, zwei- oder dreidimensional sind, sondern irgendetwas dazwischen. Anschaulich vorstellen kann man sich das nicht. Trotzdem existieren in der Natur Objekte, die solchen Fraktalen nahekommen.In ihnen findet man sich wiederholende Strukturen, die einander bei grober Betrachtung wie auch im Detail ähnlich sind. Man spricht deshalb auch von Selbstähnlichkeit.

Ein besonders schönes Beispiel für fraktale Geometrie in der Natur ist der Romanesco, eine grüne Blumenkohlart.

Zur Popularität von Fraktalen hat aber vermutlich weniger die wissenschaftliche Bedeutung als vielmehr die Möglichkeit beigetragen, am Computer mit einfachen Algorithmen Bilder von hohem ästhetischem Reiz zu erzeugen. Das berühmteste von ihnen ist wohl das «Apfelmännchen» bzw. die Mandelbrot-Menge. In ihren Randbereichen zeigt sie bei jeder Vergrösserung ähnliche, aber immer wieder neue und verblüffend schöne Strukturen.

Was haben die Fraktale nun mit den Fibonacci-Zahlen zu tun? Die unterschiedlich grossen Apfelformen der Mandelbrot-Menge entstehen in verschiedenen Perioden der Wiederholung von mathematischen Algorithmen. Betrachtet man nun diese Apfelformen, lässt sich Folgendes feststellen: Von allen Äpfeln zwischen einem Apfel der Periode 2 und einem Apfel der Periode 3 ist der Apfel der Periode 5 der grösste. Genauso ist von allen Äpfeln zwischen dem der Periode 5 und dem der Periode 3 der Apfel der Periode 8 am grössten. Und von den Äpfeln zwischen dem der Periode 8 und dem der Periode 5 ist es wiederum der Apfel der Periode 13. Alles Zahlen aus der Fibonacci-Reihe.

Fibonacci im Aktienmarkt

In den späten 1920er Jahren entwickelte der amerikanische Mathematiker Ralph Nelson Elliott eine Analyse des Aktienmarkts, die später als Theorie der Elliott-Wellen bezeichnet wurde. Elliott untersuchte insbesondere die psychologischen Aspekte des Käuferverhaltens und versuchte, Marktbewegungen durch massenpsychologische Muster zu erklären. Seine Wellentheorie behauptet, dass die Aktienpreise durch vorherbestimmte Zyklen gelenkt werden, die auf der Fibonacci-Folge beruhen. Während einer Hausse bewegen sich die Marktpreise demnach in fünf Wellen nach oben und in drei Wellen wieder etwas nach unten; bei einer Baisse verhält es sich umgekehrt.

Betrachtet man Elliott-Wellen unter dem Blickwinkel der Chaostheorie, können unterschiedliche Zeitabschnitte als selbstähnlich interpretiert werden. Die Wellen – fünf aufwärts, drei abwärts – treten demnach nicht nur über einen längeren Zeitabschnitt, sondern jeden Tag, jede Stunde, jede Minute auf. Solche Modelle, sogenannte Marktfraktale, können gemäss neueren Forschungen als Messinstrumente für die gesellschaftliche und historische Entwicklung eines Landes dienen.

Die Quintessenz der Sonnenblume

Kommen wir nochmals auf die Sunflower-Idee als Philosophie zurück. Jürg Conzett betrachtet die einzelnen Spiralen der Sonnenblume als Metapher für Personen. Personen mit Vorlieben, Fähigkeiten und Talenten. Wie eine Sonnenblume wächst und gedeiht, stellen sich auch beim Menschen Wachstum und Erfolg ein, wenn er seine Talente erkennt und fördert. Ganz egal, ob es sich um einen Tänzer, eine Künstlerin, einen Manager oder eine Wissenschaftlerin handelt: Wer sich bewusst ist, was er gerne tut und gut kann, wird erfolgreich sein, und der Erfolg wird immer neuen Erfolg mit sich bringen. Schon in der Bibel heisst es: «Jedem, der hat, wird gegeben werden, und er wird Überfluss haben.»

Jürg Conzett hat sich die Frage gestellt, was es braucht, um seine Talente zu erkennen und zu entfalten. Er erklärt seine Überlegungen mit den drei Begriffen Selbstbewusstsein, Selbstwertgefühl und Fremdwertgefühl. Selbstbewusstsein besitzt derjenige, der über seine eigenen Anlagen nachdenkt: seine Herkunft, seine Geschichte, seine Wünsche und Sehnsüchte, seine Stärken und Talente, aber auch seine Schwächen und Unsicherheiten. Selbstbewusstsein entwickelt sich zu Selbstwertgefühl, wenn jemand nicht nur weiss, wer er ist, sondern auch zu sich steht – zu seinen Stärken und auch zu seinen Schwächen. Wer ein gutes Selbstwertgefühl hat, kann sich selbst sein, seine Fähigkeiten einbringen und sich austauschen. Erfolg bedingt aber noch einen dritten Aspekt, nämlich die Fähigkeit, den Nutzen der eigenen Talente für andere Personen zu erkennen – mit einem Wort: Fremdwertgefühl. Fremdwertgefühl erfordert viel Einfühlungskraft: Man muss wissen, was den andern bewegt, welche Bedürfnisse er hat.

Wie im Blütenkopf einer Sonnenblume zahlreiche Spiralbögen nebeneinander liegen, ist der Mensch aber auch in Gemeinschaften eingebunden, sei es die Familie, sei es ein Arbeitsteam. Eine gute Partnerschaft setzt sich aus Individuen zusammen, die zwar unterschiedliche Fähigkeiten haben, aber dennoch miteinander harmonieren und alle gleichermassen respektiert werden. Sind die Personen einander zu ähnlich, fehlt eine ausreichende Spannung; herrscht Disharmonie, zerfällt die kreative Spirale.

Wenn Leute zusammenarbeiten, die miteinander harmonieren, vibrieren, sich aber gegenseitig nicht kontrollieren, dann spielt der Zu-Fall – im Sinne von zufallen – eine wichtige Rolle. Es ereignen sich Dinge, die niemand vorausgesehen hat, die aber genau passen. Im Englischen spricht man von Serendipity, einer Art günstiger Vorsehung, die sich aus einer positiven Konstellation heraus ergibt.

Das Miteinander von Menschen hört aber beim Arbeitsteam nicht auf. Zum Erfolg gehört auch, das soziale Umfeld einzubeziehen und die Interaktion mit ihm zu fördern. Jürg Conzett erkennt das soziale Umfeld in den gegenläufigen Spiralbögen der Sonnenblume. Als entscheidend für das kreative Ineinandergreifen dieser zwei Spiralen erachtet er das Zentrum: eine Vision, die Ausrichtung, ein inneres Bild, das alles zusammenhält.

Das Bewusstwerden über die eigene Person, die Potenziale, die in Partnerschaften stecken, und die Interaktion mit dem Umfeld leiten die Aktivitäten der Sunflower Foundation und des MoneyMuseums. Die Beschäftigung mit Geschichte ist für Jürg Conzett, selber studierter Historiker, kein Selbstzweck, sondern ein Mittel, um sich selbst und seine Mitmenschen, sein Umfeld besser zu verstehen. Wenn das MoneyMuseum also Themen der Wirtschafts- und Sozialgeschichte behandelt, so geht es dabei nicht um die Vermittlung von trockenem Wissen. Die Ausstellung will die Besucher vielmehr dazu anregen, sich über ihren eigenen Umgang mit Geld bewusst zu werden. Das MoneyMuseum soll auch ein Ort der Begegnung, der Interaktion sein. Eben ganz im Sinne der Sunflower-Idee: einer gelebten Philosophie der ständigen Änderung, des Wachstums und des Zusammenspiels von Menschen.